この練習プログラムでは, 解答本文を記述していません.
また, 根号の簡略化もほとんどしていません.
実際の解答では, (当然ですが)記述をしっかりとしてください.
根号の簡略化についてはどちらでも構いません.
計算結果があっているかの確認として利用してください.
実際の試験問題とは同じとは限りません.
(標準解答時間:30分程度(30=5+10+15))
問題1:
$4$ 次多項式 について,
以下の問いに答えよ:
- (1)
$ f $ の複素数体 $ \mathbb{C} $ における $ 4 $ 個の根を求めよ.
(答え)▼
- (2)
$ E $ を多項式 $ f $ の最小分解体とし,
$ K $ を体 $ \mathbb{Q} $ の拡大体
で定める.
$ K $ がガロア拡大 $ E/\mathbb{Q} $ の中間体であることを示せ.
(ヒント)▼
が $ E $ に属すことを示せばよい.
- (3)
ガロア群 $ \mathrm{Gal}(E/K) $ の元を明示し,
各元が $ f $ の $ 4 $ 個の根をどのように置換するか示せ.
(答え)▼
$ \mathrm{Gal}(E/K) = \{ \mathrm{Id}, \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \} $,
ただし $ \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 $ は巡回表示で
,
,
,
とする(順不同).