この練習プログラムでは, 解答本文を記述していません.
実際の解答では, (当然ですが)記述をしっかりとしてください.
計算結果があっているかの確認として利用してください.
(標準解答時間：15分以内)

問題１： 集合 $ \Omega $ を \[ \Omega := \{ 0,1,2,3,4,5,6,7 \} \] と定める. 以下の問いに答えよ:

• (1)　 $ \Omega $ 上の確率質量関数 $ p : \Omega \longrightarrow \mathbb{R} $ を
  $\qquad$ $\, p(0) = $ $\, p(1) = $ $\, p(2) = $ $\, p(3) = $ $\, p(4) = $ $\, p(5) = $ $\, p(6) = $ $\, p(7) = $
  で定める. 事象 $ A, B \subseteq \Omega $ を
  $\qquad A:= \{ $ $ \},$
  $\qquad B:= \{ $ $ \}$
  と定める.
  事象 \( C \subseteq \Omega \) で, \( A, B, C \) が独立となるものを求めよ.
  (答え)▼
  $\varnothing,$ $\quad \{ $ $ \},$ $\quad \{ $ $ \},$ $\quad\Omega.$
  (ヒント1)　「求めよ」というのは,

  • 存在しない場合は存在しないことを示す
  • 存在する場合は証明込みで全て求める

  ということを意味する.
  (ヒント2)　

  • 事象 $ C $ が と を持つ場合,
  • 事象 $ C $ が を持つが を持たない場合,
  • 事象 $ C $ が を持たないが を持つ場合,
  • 事象 $ C $ が と を持たない場合,

  の4通りに場合分ける.
• (2)　 $ \Omega $ 上の確率質量関数 $ p : \Omega \longrightarrow \mathbb{R} $ を
  $\qquad$ $\, p(0) = $ $\, p(1) = $ $\, p(2) = $ $\, p(3) = $ $\, p(4) = $ $\, p(5) = $ $\, p(6) = $ $\, p(7) = $
  で定める. 事象 $ A, B \subseteq \Omega $ を
  $\qquad A:= \{ $ $ \},$
  $\qquad B:= \{ $ $ \}$
  と定める.
  事象 \( C \subseteq \Omega \) で, 以下の3条件を満たすものをひとつ求めよ:
  • $ A,C $ は独立である;
  • $ B,C $ は独立である;
  • $ A,B,C $ は独立でない.
  (答え)▼
  例えば, $ \{ $ $ \}.$
  (ヒント1)　 「一つ求めよ」と聞いているので, 一つ答えればよい.
  (ヒント2)　 まず, 事象 $ C \cap A $ や $ C \cap B $ が空でないことを示す. 次に, 仮定を利用せよ.