この練習プログラムでは, 解答本文を記述していません.
実際の解答では, (当然ですが)記述をしっかりとしてください.
計算結果があっているかの確認として利用してください.
(標準解答時間：20分程度)

問題： 多項式環 $ \mathbb{R}[X] $ のイデアル $ I $ を
で定める. また, 代数系 $ R = (\mathbb{R}^2;+_R,0_R,\times_R,1_R) $ を で定める. 代数系 $ R $ が可換環をなすことは前提としてよい. 以下の問いに答えよ:

• (1)： 商環 $ \mathbb{R}[X]/I $ から環 \( R \) への環同型写像をひとつ見つけよ.
  (証明手順)▼
  1. 対応 $ \varphi :\mathbb{R}[X]/I \rightarrow R $ を作る.
  2. 対応 $ \varphi :\mathbb{R}[X]/I \rightarrow R $ が well-defined であることを示す.($ \varphi $ が写像であることが確定する)
  3. 写像 $ \varphi :\mathbb{R}[X]/I \rightarrow R $ が環同型写像であることを示す.
• (2)： 商環 $ \mathbb{R}[X]/I $ が体を成すか否か調べよ.
  (答え)▼
• (3)： 商環 $ \mathbb{R}[X]/I $ において $ [f] $ についての方程式 $ [f]^2 = [0] $ を解け.
  (答え)▼