この練習プログラムでは, 解答本文を記述していません.
実際の解答では, (当然ですが)記述をしっかりとしてください.
計算結果があっているかの確認として利用してください.
(標準解答時間：20分以内(20=10+10))

問題１： 環 $ \mathrm{Mat}_2(\mathbb{R}) $ の部分集合 $ A $ を
\[ A := \left\{ \begin{array}{c|l}a\left[\begin{array}{cc}\dfrac{-1}{2}&\dfrac{-1}{2}\\\dfrac{3}{2}&\dfrac{3}{2}\end{array}\right]+b\left[\begin{array}{cc}\dfrac{-3}{2}&\dfrac{-3}{2}\\\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{2}\end{array}\right]\in \mathrm{Mat}_2(\mathbb{R})&a, b \in \mathbb{R}\end{array} \right\}\] で定める. 以下の問いに答えよ:

• (1)： 部分集合 $ A $ が環 $ \mathrm{Mat}_2(\mathbb{R}) $ の部分環をなすか否か調べよ.
• (2)： 部分集合 $ A $ が環 $ \mathrm{Mat}_2(\mathbb{R}) $ のイデアルをなすか否か調べたい.
  イデアルの条件1.～5.それぞれについて $ A $ が満たすか否か調べよ.
  (条件)▼
  1. 　$ x,y \in A \Rightarrow x+y \in A $;
  2. 　$ 0 \in A $;
  3. 　$ x \in A \Rightarrow -x \in A $;
  4. 　$ x \in \mathrm{Mat}_2(\mathbb{R}), y \in A \Rightarrow xy \in A $;
  5. 　$ x \in A, y \in \mathrm{Mat}_2(\mathbb{R}) \Rightarrow xy \in A $.

問題２： 環 $ \mathbb{R}[X] $ の部分集合 $ B $ を
\[ B := \left\{ \begin{array}{c|l}f \in \mathbb{R}[X]&f(0)=f(1)=0\end{array} \right\}\] で定める. 以下の問いに答えよ:

• (1)： 部分集合 $ B $ が環 $ \mathbb{R}[X] $ の部分環をなすか否か調べよ.
• (2)： 部分集合 $ B $ が環 $ \mathbb{R}[X] $ のイデアルをなすか否か調べたい.
  イデアルの条件1.～5.それぞれについて $ B $ が満たすか否か調べよ.
  (条件)▼
  1. 　$ f,g \in B \Rightarrow f+g \in B $;
  2. 　$ 0 \in B $;
  3. 　$ f \in B \Rightarrow -f \in B $;
  4. 　$ f \in \mathbb{R}[X], g \in B \Rightarrow fg \in B $;
  5. 　$ f \in B, g \in \mathbb{R}[X] \Rightarrow fg \in B $.